ТФКП: как числа умеют поворачивать

🪐 База на Марсе

Академия Starbound · Факультет «Высшая математика» · Занятие 1 · Около 6 минут

ТФКП — теория функций комплексного переменного (по-английски complex analysis). Это раздел высшей математики о функциях, у которых и вход, и выход — комплексные числа (MIT OCW 18.04, MathWorld).

Сокращения: ТФКП — теория функций комплексного переменного; MIT OCW (Massachusetts Institute of Technology OpenCourseWare) — открытые курсы Массачусетского технологического института; NASA (National Aeronautics and Space Administration) — космическое агентство США; IEEE (Institute of Electrical and Electronics Engineers) — Институт инженеров электротехники и электроники.

1. Что такое комплексное число

Комплексное число записывают как z = x + iy, где x и y — обычные (вещественные) числа, а i — мнимая единица: i² = −1. x называют вещественной частью, y — мнимой (MathWorld, MIT OCW 18.04).

Главная идея: такое число — это точка на плоскости. x — сколько шагов вправо, y — сколько вверх. Эту плоскость называют комплексной. Именно картинка с точками помогла математикам принять «мнимые» числа всерьёз (MathWorld, MIT OCW 18.04).

2. Умножить на i — повернуть на 90°

Возьмём 1 и будем умножать на i: 1 → i → −1 → −i → 1. Точка обходит круг четырьмя шагами по 90°. Вообще, при умножении комплексных чисел их длины перемножаются, а углы складываются; у i длина 1 и угол 90°, поэтому умножение на i — чистый поворот на 90° против часовой стрелки (MIT OCW 18.04, MathWorld).

Формула Эйлера связывает поворот с экспонентой: e^iφ = cos φ + i sin φ. Число e^iφ — это точка на круге радиуса 1 под углом φ. При φ = π (пол-оборота) получается знаменитое e^iπ + 1 = 0 (MathWorld, Britannica).

Угол φ:

Зелёный отрезок — cos φ (вещественная часть), жёлтый — sin φ (мнимая часть). Ползунок останавливает анимацию.

3. Что делает функция комплексного переменного

Обычная функция переводит число в число. Функция комплексного переменного w = f(z) переводит точку плоскости в точку плоскости, то есть как бы перерисовывает всю плоскость. Например, f(z) = z² удваивает угол каждой точки и возводит в квадрат её расстояние до нуля: четверть плоскости разворачивается в половину (MIT OCW 18.04, MathWorld).

4. Аналитические функции и условия Коши — Римана

Функцию называют аналитической (голоморфной) в области, если у неё в каждой точке этой области есть комплексная производная — предел (f(z+h) − f(z)) / h при h → 0, одинаковый, с какой бы стороны ни подходить к точке (MIT OCW 18.04, MathWorld).

Запишем f = u + iv, где u(x,y) и v(x,y) — вещественная и мнимая части. Требование «одинаково со всех сторон» превращается в два равенства — условия Коши — Римана:

∂u/∂x = ∂v/∂y, ∂u/∂y = −∂v/∂x

Простыми словами: вблизи каждой точки аналитическая функция действует как поворот плюс растяжение, без перекоса. Поэтому там, где производная не равна нулю, она сохраняет углы — такое отображение называют конформным (MathWorld, MathWorld). Пример: z² аналитична, а x − iy (отражение) — нет.

5. Зачем это нужно

Электрические цепи переменного тока. Сопротивление цепи переменному току (импеданс) записывают комплексным числом Z = R + iX: вещественная часть — обычное сопротивление, мнимая — реактивное (катушки и конденсаторы); у инженеров вместо i пишут j (IEEE, Britannica).
Обработка сигналов. Преобразование Фурье раскладывает сигнал (звук, радиоволну) на частоты; в нём стоит множитель вида e^−2πikx — те же «вращающиеся точки» на круге (MathWorld, Britannica).
Течения и крыло самолёта. Конформные отображения переносят известное течение около одной формы на другую. Русский учёный Николай Жуковский с помощью функции w = z + 1/z превращал обтекание круглого цилиндра в обтекание профиля крыла (NASA, Mathews & Howell). Плоские течения жидкости разбирают и в курсе MIT (MIT OCW 18.04).
Квантовая механика. Основное уравнение — уравнение Шрёдингера — содержит i, а волновая функция частицы принимает комплексные значения (MathWorld, Britannica).

Проверь себя

Чему равно i⁴?
Где на плоскости лежит e^iπ/2?
Что означают условия Коши — Римана простыми словами?

Ответы

i⁴ = (i²)² = (−1)² = 1: четыре поворота по 90° — полный круг.
В точке i: cos 90° + i sin 90° = i, на круге радиуса 1 прямо вверх.
Что у функции есть одна и та же комплексная производная, с какой стороны ни подходи к точке; вблизи точки функция — поворот плюс растяжение.

Смотреть

3Blue1Brown: e^(iπ) за 3,14 минуты (англ., можно включить субтитры) · Курс MIT OCW 18.04

Дополнительно: Grokipedia: Complex analysis · Grokipedia: Euler's formula · Grokipedia: Cauchy–Riemann equations · Grokipedia: Conformal map

Все занятия факультета

Источники

С заботой, команда Starbound

Complex analysis: how numbers learn to rotate

🪐 Mars base

Starbound Academy · Higher Mathematics faculty · Class 1 · About 6 minutes

Complex analysis (in Russian, ТФКП: the theory of functions of a complex variable) is the part of higher mathematics about functions whose inputs and outputs are complex numbers (MIT OCW 18.04, MathWorld).

Acronyms: MIT OCW (Massachusetts Institute of Technology OpenCourseWare); NASA (National Aeronautics and Space Administration); IEEE (Institute of Electrical and Electronics Engineers).

1. What a complex number is

A complex number is written z = x + iy, where x and y are ordinary (real) numbers and i is the imaginary unit: i² = −1. x is the real part, y the imaginary part (MathWorld, MIT OCW 18.04).

The key idea: such a number is a point on a plane. x is how far right, y how far up. This is the complex plane. That picture is what helped mathematicians take “imaginary” numbers seriously (MathWorld, MIT OCW 18.04).

2. Multiply by i, rotate by 90°

Start at 1 and keep multiplying by i: 1 → i → −1 → −i → 1. Four 90° steps make a full circle. In general, multiplying complex numbers multiplies their lengths and adds their angles; i has length 1 and angle 90°, so multiplying by i is a pure 90° counterclockwise turn (MIT OCW 18.04, MathWorld).

Euler’s formula links turning to the exponential: e^iφ = cos φ + i sin φ. The number e^iφ is the point on the radius-1 circle at angle φ. At φ = π (half a turn) you get the famous e^iπ + 1 = 0 (MathWorld, Britannica).

Angle φ:

Green is cos φ (real part), gold is sin φ (imaginary part). Moving the slider stops the animation.

3. What a function of a complex variable does

An ordinary function turns a number into a number. A function of a complex variable w = f(z) turns a point of the plane into a point of the plane, so it redraws the whole plane. For example, f(z) = z² doubles each point’s angle and squares its distance from zero: a quarter of the plane opens into a half (MIT OCW 18.04, MathWorld).

4. Analytic functions and the Cauchy–Riemann conditions

A function is analytic (holomorphic) on a region if at every point there it has a complex derivative: the limit of (f(z+h) − f(z)) / h as h → 0 exists and is the same whichever direction you approach from (MIT OCW 18.04, MathWorld).

Write f = u + iv, with real part u(x,y) and imaginary part v(x,y). “Same from every direction” becomes two equations, the Cauchy–Riemann conditions:

∂u/∂x = ∂v/∂y, ∂u/∂y = −∂v/∂x

In plain words: near each point an analytic function acts like a rotation plus a stretch, with no skew. So wherever its derivative is not zero it preserves angles; such a map is called conformal (MathWorld, MathWorld). Example: z² is analytic, while x − iy (a mirror flip) is not.

5. Why it matters

AC (alternating current) circuits. Impedance, a circuit’s opposition to alternating current, is a complex number Z = R + iX: the real part is resistance, the imaginary part is reactance from coils and capacitors; engineers write j instead of i (IEEE, Britannica).
Signal processing. The Fourier transform splits a signal (sound, a radio wave) into frequencies; its kernel e^−2πikx is the same “spinning point” on the circle (MathWorld, Britannica).
Fluid flow and wings. Conformal maps carry a known flow around one shape onto another. The Russian scientist Nikolai Zhukovsky (Joukowski) used w = z + 1/z to turn flow around a round cylinder into flow around a wing-shaped airfoil (NASA, Mathews & Howell). MIT’s course covers 2-D fluid flow too (MIT OCW 18.04).
Quantum mechanics. Its core equation, the Schrödinger equation, contains i, and a particle’s wave function takes complex values (MathWorld, Britannica).

Check yourself

What is i⁴?
Where on the plane is e^iπ/2?
What do the Cauchy–Riemann conditions say in plain words?

Answers

i⁴ = (i²)² = (−1)² = 1: four 90° turns make a full circle.
At i: cos 90° + i sin 90° = i, straight up on the radius-1 circle.
That the function has the same complex derivative whichever way you approach a point; up close it is a rotation plus a stretch.

Watch

3Blue1Brown: e^(iπ) in 3.14 minutes, using dynamics · MIT OCW 18.04 course

Further reading: Grokipedia: Complex analysis · Grokipedia: Euler's formula · Grokipedia: Cauchy–Riemann equations · Grokipedia: Conformal map

All faculty classes

Sources

With care, the Starbound team